水平集方法是一种隐式描述移动界面的欧拉方法， 最早由 Osher 和 Sethian 在1988年引入。
在区域Ω Ω t t Γ = Γ ( x , t ) Γ = Γ ( x , t ) x x Γ Γ Φ ( x , t ) Φ ( x , t ) Γ = { x ∣ Φ ( x , t ) = 0 } Γ = { x ∣ Φ ( x , t ) = 0 } Ω Ω V ⃗ ( x , t ) V ( x , t ) ( 1 ) ( 1 ) Φ Φ V ⃗ ( x , t ) V ( x , t ) Ω Ω
Φ t + V ⋅ ∇ Φ = 0 (1) Φ t + V ⋅ ∇ Φ = 0 ( 1 )
假设我们关注Φ ( x , y , t ) = 0 Φ ( x , y , t ) = 0 Φ ( x , y , t ) = 0 Φ ( x , y , t ) = 0
d d t Φ ( x ( t ) , y ( t ) , t ) = 0 d t d Φ ( x ( t ) , y ( t ) , t ) = 0
应用链式求导法则：
Φ t + Φ x x t + Φ y y t = 0 Φ t + Φ x x t + Φ y y t = 0
Φ t + ( x y , y t ) ⋅ Φ y y t = 0 Φ t + ( x y , y t ) ⋅ Φ y y t = 0
Φ t + V ⃗ ⋅ ∇ Φ = 0 (2) Φ t + V ⋅ ∇ Φ = 0 ( 2 )
其中V ⃗ = ( x y , y t ) V = ( x y , y t ) ( 2 ) ( 2 )
进一步看，水平集曲面的法向量可以如下表示：
N ⃗ = ∇ Φ ( x , y , t ) ∣ ∇ Φ ( x , y , t ) ∣ N = ∣ ∇ Φ ( x , y , t ) ∣ ∇ Φ ( x , y , t )
观察方程( 2 ) ( 2 ) V ⃗ ⋅ ∇ Φ V ⋅ ∇ Φ 法向上的分量 才会影响曲面的形状。切向上面的速度只是在曲面内部平移。
法向上的分量可以表示为：
V n = V ⃗ ⋅ N ⃗ = V ⃗ ⋅ ∇ Φ ( x , y , t ) ∣ ∇ Φ ( x , y , t ) ∣ V n = V ⋅ N = V ⋅ ∣ ∇ Φ ( x , y , t ) ∣ ∇ Φ ( x , y , t )
继续变换：
V n ∣ ∇ Φ ( x , y , t ) ∣ = V ⃗ ⋅ ∇ Φ ( x , y , t ) V n ∣ ∇ Φ ( x , y , t ) ∣ = V ⋅ ∇ Φ ( x , y , t )
将这一项代入方程( 2 ) ( 2 )
Φ t + V n ∣ ∇ Φ ( x , y , t ) ∣ = 0 Φ t + V n ∣ ∇ Φ ( x , y , t ) ∣ = 0
这是一个标量方程，很容易用数学方法求解。
∣ ∇ Φ ( x , y , t ) ∣ ∣ ∇ Φ ( x , y , t ) ∣
Φ t + V n = 0 Φ t + V n = 0
Φ = C + t V n Φ = C + t V n
有解析解。实际上Level Set方法退化为最小距离场方法。
Level Set 方法原始文献：
Osher, Stanley, and James A Sethian. “Fronts Propagating with Curvature-Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton-Jacobi Formulations.” Journal of Computational Physics 79, no. 1: 12–49.
本文参考了：
http://weihuayi.github.io/numerical/Levelset-method.html
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