¶ 问题概述
¶ LSM
固体火箭发动机的内弹道，指的是发动机工作时的压强-时间曲线。对其进行计算的基础，是要知道该发动机固体装药的燃面-肉厚曲线。
对于复杂装药，燃面-肉厚曲线一般需要通过计算机图形学方法来获取。各种图形学方法中，Level Set Method (LSM)是比较稳定的一种，能够正确处理燃烧过程中随平行层推移出现的拓扑变化。
然而，LSM需要耗费极大的计算资源，即使使用了GPU计算技术，以高分辨率网格进行仿真仍然需要几个小时。这不仅影响发动的设计进度，也让大规模的结构优化变得不甚可行。
¶ CNN
考虑到发动机装药的几何表示实际上可以看作是一个图形，“按平行层燃烧定理推移一步”这个行为，也可以看作是从一张图预测另一张图。而卷积神经网络CNN在这类问题中往往可以有较高的性能。使用CNN来解这个问题，是值得尝试的。应用神经网络的优点，主要有两条：
- 速度更快。神经网络的执行时间是常数，不需要迭代求解，且可以利用现有的大量优化到极致的计算软件甚至专用硬件。LSM方程需要迭代求解，程序需要自行编写。
- 稳定性好。解LSM方程需要注意CFL条件，对时间步长有限制。训练好的神经网络基本上不存发散问题，其等效CFL数可以大于1。
¶ 训练数据
在一般神经网络训练任务中，训练数据由人类提前标注。然而，对于用于解方程的神经网络，其训练数据可以通过解方程来获取。不但速度大幅加快，数据量也几乎没有限制。
具体方法是，先使用随机数生成器，产生大量的初始条件和边界条件，再在此基础上按正常方法进行LSM求解，将产生的每一步中间数据都存入数据库。下面两图分别是初始几何体的有向距离场与定义的速度场：
生成训练数据的流程：
¶ 网络结构
与普通的图片分类任务不同，这里是要在每一个像素上模拟方程求解，所以需要较多关于输入的精确信息。故网络结构选择了残差神经网络 ResNet.这种网络是卷积神经网络的一种，其特点在于，每隔几层，会有一条“捷径”，将离原始输入很近的信息引入进来。这样一来，虽然网络有很多层，但实际上网络不是太深。
¶ 损失函数
损失函数的定义，是这个问题的难点。
直观来看，解方程问题的损失函数很容易定义：直接定义为网络输出与方程输出的差值的平方。然而，经过试验，这种做法效果相当差。
原因在于，LSM的输入和输出都是有向距离场。在高分辨率情形下，要求的数值精度极高。
Take our problem as example, we have placed 256 grids in range, which means the maximum possible difference between values of on two neighbouring nodes is . CFL condition limit propagation amount under . Suppose CFL factor is 0.8, the amount of change after one time step would be . To approximate equation solving, the difference between equation output and network output shall be at most . The required error bound is close to the precision limit of ordinary 32-bit float variable (). If we take reinitialization into account, required error bound would be even more stringent. Neural network is essentially an approximation method, training a network having such accuracy is extremely difficult.
经测试，按这种损失函数训练出来的神经网络，其产生的误差总和比前后两帧图像之差的总和还要要高，概括来说就是完全没法用。
回到起点，分析问题可以发现，这种现象的根本原因是：用有向距离场表达几何体所需的精度太高。换个思路，可以放弃有向距离场，改用最简单的笛卡尔网格来表达：将物体所在的空间划分为矩形网格，对于每个网格点，只关心其是/否处在目标几何体的范围内。
这样一来，原本要求高精度的拟合问题，被转换成了对每个网格点进行分类的问题。分类问题是神经网络最为擅长的领域，允许的误差限极大——以0.5为界，[0,0.5)定义为False，(0.5, 1]定义为True.
用改进过的损失函数，网络的训练很顺利：
训练：
测试：
¶ 测试结果
将训练过的网络参数保存下来，重新随机生成一些几何体和速度场，令其预测下一步时的几何体形状，结果如图（红色像素为错误的点）：
错误仍然存在，但区域不大，可以看出主要出现在几何体的边界区域。原因后面猜测。
将神经网络的输出再作为输入，迭代求解，并将每一步中神经网络的输出与一直采取正规LSM解法的结果进行对比，其误差曲线如下图：
可以看出，误差有积累，但没有无限制地发散下去。可以认为该思路是可行的。
出现在边界上的误差，猜测是由于使用的卷积核过小。训练中所使用的等效CFL数为8，在一步当中，几何体边界最多前进了8格。然而，网络中用到的卷积核最大为7 x 7，后面的则全是3 x 3.网络中为了避免分辨率降低，网络中没有使用下采样层，故网络难以学习到8格之外的信息（7 x 7卷积核的半径仅为3）.这一点应在后面的研究中修正。
Solving Level Set Evolving Using Fully Convolution Network
条目类型 会议论文
作者 Ran Wei
作者 Futing Bao
作者 Yang Liu
作者 Weihua Hui
日期 8/2017
语言 en
网址 http://ieeexplore.ieee.org/document/8047620/
访问时间 2018/12/2 21:15:43
版权 All rights reserved
地点 Hangzhou
出版社 IEEE
ISBN 978-1-5386-3021-1 978-1-5386-3022-8
页码 234-238
会议论文集标题 2017 9th International Conference on Intelligent
Human-Machine Systems and Cybernetics (IHMSC)
会议名称 2017 9th International Conference on Intelligent
Human-Machine Systems and Cybernetics (IHMSC)
DOI 10.1109/IHMSC.2017.61 <http://doi.org/10.1109/IHMSC.2017.61>